墨尔本大学 Linear Algebra

课程介绍：

作为一门纯数学课,Linear Algebra 会对学生理解别的理科课程有很大的帮助。因此，领航LA的课程，不只是为了帮助同学们应考拿高分, 更多是为了帮助学生彻底的理解课程内容, 养成良好的数学思维，为之后学习更深入的课程打下扎实的基础。

平时班课程大纲：

Linear Algebra 的平时班由六堂时长二小时的课组成,总计十二小时。

十二小时的教室内容概括如下:

第一讲

Solving systems of equations;

Consistency and dimension of solutions;

Determinants and inverses of matrices;

Row space, column space, and solution space.

以上部分对于大多学生应该比较熟悉。第一节课的内容主要是基本知识,给我们提供工具去分析接下来要学的概念。这些内容虽说不是考试重点,但是对细节的理解会对接下来的学习有很大的帮助。

第二讲

Vector spaces and subspaces;

Coordinate vectors;

Lines and planes.

第二节课我们开始进入 Linear Algebra 的主要内容。这节课里,我们要透彻的理解 Vector space的概念。因为这个概念比较抽象、难理解,我会提供充裕的解释和例子试图帮助同学们理解这个概念。考试里常见的考试题型为 Subspaces 的证明和反证。课上,我们会做多个例题去巩固知识并且得到一副标准答题的方法。之后,我们开始讲解 Euclidean space(Rn),也就是最常用的Vector space。

第三讲

Linear independence and bases;

Linear transformations.

第二讲的前半主要讲解 linear independence 以及它对 Bases 的重要性。Linear independence 的证明题往往比较简单套路,我们会通过几个例子摸索出规律。Bases 的证明题虽然很类似,不过有一些细节学生往往不知道该怎么表达。同样,我会通过多个例题去灌输这方面的经验。

第二讲的后半是 Linear Algebra 的第二大章节:Linear Transformations。这也是一个抽象的概念,需要通过多个例子去理解。Linear transformations 的证明题很类似于 Subspaces 的证明题,但是有一些微小但很关键的区别。

第四讲

Image, kernel, rank, and nullity;

Euclidean Transformations;

Change of Bases;

第四讲继续上一讲的主要内容。我们会探索一个 linear transformation 的 image 和 kernel,并解释它们和我们学过的 column space 和 solution space 的区别。接下来,我们会做多个 Euclidean space 的 linear transformation 题目,通过简单的例子去理解 linear transformations。当 change of bases 和 linear transformations 结合到一起,很多学生会忘记如何计算。这里会澄清transformation matrix 和 change of basis matrix 之间的变换关系。

第五讲

Eigenvalues and eigenvectors;

Diagonalisation.

第五讲是 eigenvalues and eigenvectors, 也就是 linear transformations 的一大应用。虽然公式看似简单,但是很多同学无法从视觉上理解这个概念——然而有些考题要求你不用任何公式,只通过画图去理解并且解答题目。我们也会通过一些例子去体会 eigenvalues 的重要性和强大。

第六讲

Inner product;

Gram-Schmidt orthonormalisation;

第六讲是这门课的最后一章节。我们通过 inner product 在一个抽象的 vector space 里面定义距离和方位。Inner product 的证明题又难又复杂。我们会通过多个例题去熟悉这类证明。之后,我们会介绍如何 orthonormalise 一个 basis。这个过程计算量大并且繁琐。我会帮助大家直观地理解这个过程,让计算过程尽可能的简洁。

期末复习大纲：

Linear Algebra 的期末班由六堂时长二小时的课组成,总计十二小时。

值得注意的是：Linear Algebra 考试没有formula sheet,因为教授希望学生们理解内容,而不只是会背公式和套公式。十二小时的内容概括如下:

第一讲

Solving systems of equations;

Determinants and inverses of matrices;

Row space, column space, and solution space;

Lines and planes.

以上部分对于大多学生应该比较熟悉。第一节课的内容主要是基本知识,给我们提供工具去分析接下来要学的概念。这些内容虽说不是考试重点,但是对细节的理解会对接下来的学习有很大的帮助。

第二讲

Vector spaces and subspaces;

Coordinate vectors;

Linear Transformations.

第二节课我们开始进入 Linear Algebra 的主要内容。这节课里,我们要透彻的理解Vector space的概念。因为这个概念比较抽象、难理解,我会提供充裕的解释和例子试图帮助同学们理解这个概念。考试里常见的考试题型为 Subspaces 的证明和反证。课上,我们会做多个例题去巩固知识并且得到一副标准答题的方法。之后,我们开始讲解 Euclidean space(Rn),也就是最常用的Vector space。Linear independence 的证明题往往比较简单套路,我们会通过几个例子摸索出规律。Bases 的证明题虽然很类似,不过有一些细节学生往往不知道该怎么表达。同样,我会通过多个例题去灌输这方面的经验。

第三讲

Inner product spaces;

Reflections and projections;

Gram-Schmidt Orthonomalisation.

第三讲继续上一讲的主要内容。我们通过 inner product 在一个抽象的 vector space 里面定义距离和方位。Inner product 的证明题又难又复杂。我们会通过多个例题去熟悉这类证明。之后,我们会介绍如何 orthonormalise 一个 basis。这个过程计算量大并且繁琐。我会帮助大家直观地理解这个过程,让计算过程尽可能的简洁。

第四讲

Eigenvalues and eigenvectors;

Diagonalisation.

第四节课的内容是是 eigenvalues and eigenvectors, 也就是 linear transformations 的一大应用。虽然公式看似简单,但是很多同学无法从视觉上理解这个概念——然而有些考题要求你不用任何公式,只通过画图去理解并且解答题目。我们也会通过一些例子去体会 eigenvalues 的重要性和强大。

第五讲 与 第六讲

最后两节课主要讲解题目。课上会有实际出过的题目并且任课老师出的题目,为了让学生们熟悉如何分析题目、避免题目中的陷阱。

开班时间：

平时班：每学期第四周周末
期末班：每学期第十一周周末
作业班：平时班开课后，作业due前10天内